位相 topology=top.
目次・項目一覧
位相空間 top.sp.
開集合 open set
閉集合 closed set
密着位相 indiscrete top. =自明な位相 trivial top.
離散位相 discrete top.
相対位相 relative top.
n 次元ユークリッド空間
距離空間 metric sp.
距離 metric
距離空間における開集合
境界点
内点
外点
近傍系
基本近傍系=近傍基
位相基
第一可算公理=可算近傍基が存在.
第二可算公理=可算位相基が存在.
第二可算⇒第一可算
連続写像, 同相写像
コンパクト cpt
点列コンパクト
可算コンパクト
局所コンパクト
・cpt ⇒ 可算cpt
・点列cpt ⇒ 可算cpt
・第一可算公理の下では, 可算cpt ⇒ 点列cpt もいえるので, 可算cpt ⇔ 点列cpt
更に,
・第二可算公理の下では, 可算cpt ⇒ cpt, 即ち, 可算cpt ⇔ cpt
・可算cpt + Lindel\"of の性質 ⇔ cpt
Lindel\"of の性質:
任意の開被覆から可算個の開被覆が選べる.
連結
連結成分
弧状連結
局所連結
同相と、コンパクトと連結
同相なら, コンパクト性と連結性は保たれる.
(同相写像は, 全単射で, 連続かつ開写像なので, 容易に示せる.)
この事実を用いると次が分る:
・直線 R と平面 R^2 は, 同相ではない！！
R から原点 0 を除くと, 連結ではなくなるが, R^2 から1点を除いても連結のままなので, 同相ではない.
次元を上げても同様.
・R と (0,1) は同相だが, これらと (0,1] は同相ではない.
(0,1] から 1 のみを除いても連結だが, (0,1) から1点を除くと, 連結でなくなるため
・直線 R と円周 S^1 も同相ではない.
同様に, 平面 R^2 と球面 S^2 も同相ではない. R^n と S^n も・・・。
S^n はコンパクトだが, R^n はコンパクトではないため.
分離公理
T_1
T_2
Hausdorff 空間 = T_2 空間
T_3
T_4
正則空間=T_1+T_3
正規空間=T_1+T_4
【距離空間において】
可算近傍基をもつので, 第一可算公理を満たし, 更に, T_1, T_4 を満たすので, 正規空間でもある.
また, もし可分(稠密な可算部分を持つ)なら, 第二可算公理を満たし,
その逆もいえる.
もし, 全有界（任意の正数 \epsilon に対し,
それ以下の直径の有限開被覆を持つ) なら, 可分である.
距離空間において, 次は同値:
コンパクト, 可算コンパクト, 点列コンパクト, 全有界かつ完備